Analytical method for smooth interpolation of two-dimensional scalar fields

Abstract

The aim of the present MSc thesis is the accomplishment and evaluation of a novel two-dimensional smooth interpolation method – in the form z= f(x,y) – from an irregularly distributed dataset, that intrinsically assures gradient continuity and absence of residuals at the input data points, whilst offering some advantages over existing methods. The method is generically based on local trends, which are defined from the values of neighbour input points. The neighbour relationships are topologically defined by means of an irregular triangular tessellation (e.g. Delaunay Triangulation) and the local trend of the interpolation is defined by tangency planes at the input points. The resulting functional surface is piecewise in nature, which assures, a priori, a consistent behaviour, independently of local variations of input data density. The global spatial domain is sub-divided in local triangular domains, by means of the aforementioned triangular tessellation. At the vertices, first-derivative continuity (differentiability class C1) is assured by guaranteeing the tangency of the interpolated surface with the planes that define the local trends. This tangency is achieved by the use of smooth blending functions – defined in the local space coordinate system – that have null first order derivatives at the data vertices. Smoothness at the local spatial domain boundaries is also achieved by making the local coordinate orientation continuous between adjacent triangles (e.g. by making the local coordinates orthogonal with the triangle edges). The method was implemented in code (in Visual Basic) and the viability of the concept was demonstrated. Its virtues and shortcomings were analysed by comparison with other available interpolation methods and algorithms, using both simulated and real datasets. There is still room for improvement and refinement and several possible avenues are mentioned.

O objectivo do presente trabalho é a elaboração e avaliação de um novo método de interpolação bidimensional “suave” – da forma z= f(x,y) – a partir de um conjunto de pontos irregularmente distribuídos, que assegure, intrinsecamente, continuidade de gradiente, ausência de resíduos nos pontos de entrada e, adicionalmente, algumas vantagens sobre os métodos actualmente disponíveis. O método é genericamente baseado em tendências locais, que são definidas com base nos valores dos pontos de entrada vizinhos. As relações de vizinhança são topologicamente definidas por intermédio de uma rede de triangulação e a tendência local é definida mediante planos de tangencia nos pontos de entrada. A superfície funcional resultante é definida por partes, o que assegura, a priori, um comportamento consistente, independentemente de variações locais na densidade espacial dos pontos de entrada. O domínio espacial global é subdividido em domínios locais triangulares, mediante a triangulação anteriormente referida. Nos vértices, a continuidade da primeira derivada (classe C1) é assegurada garantindo a tangencia da superfície interpolada com os planos que definem as tendências locais. Esta tangencia é conseguida mediante o uso de blending functions – definidas no espaço de coordenadas locais – que têm derivada nula nos extremos locais (i.e. vértices e arestas). A “suavidade” nas fronteiras dos espaços locais (triângulos) é conseguida garantido a continuidade de orientação das coordenadas locais entre domínios adjacentes (e.g., ortogonalizando as coordenadas locais com os lados dos triângulos). O método foi implementado em código (em Visual Basic) e a viabilidade do conceito foi demonstrada. As suas virtudes e limitações foram analisadas por comparação com outros métodos e algoritmos de interpolação disponíveis, utilizando dados simulados e reais.