Modelling and numerical analysis in option market with memory

Abstract

This thesis provides a new proposal for modeling the dynamics of financial prices that takes into account memory structures. In order to motivate new option pricing models, this thesis presents several models for the price of the underlying asset, beginning with the classical models and increasing the complexity until more sophisticated models with memory in price and in volatility. In this framework, new pricing models are derived for plain vanilla options. These models are represented by differential systems with no analytical solution, and therefore they impose the use of numerical methods. Here it is adopted the Galerkin method, and the solution of the algebraic problem is found using two methods: the Interactive Method of Successive Over-Relaxation (SOR) and Picard algorithm. Throughout this thesis there is a significant mathematical effort aiming to model option prices in the presence of memory structures (JTDD process). Given the need for statistical theory, in particular for the Itô’s Lemma, here it is shown the formulation of the Itô’s lemma for JTDD process with non-constant coefficients. Also of great importance in the stochastic calculus field, the thesis presents a demonstration of the exponential stochastic process for JTDD. An important issue for financial economics is the possibility that series have some kind of persistence, at least in a high frequency setting. In this thesis this aspect of the prices time series is captured through the consideration of Telegraph processes.

Esta tese apresenta uma nova proposta para a modelação do comportamento dos preços dos activos financeiros, cujo aspecto mais relevante é a inclusão de estruturas de memória. De forma a motivar novos modelos de avaliação de opções, a presente tese inicia-se com a apresentação de vários modelos para os activos subjacentes, começando com uma formalização mais clássica e aumentando o nível de complexidade até aos modelos mais sofisticados onde já se encontra presente a memória no preço e na volatilidade do activo. Tendo por base estes modelos, são posteriormente derivados os modelos de avaliação de opções tradicionais. Estes modelos são representados por sistemas diferenciais sem solução analítica, o que implica a utilização de métodos numéricos. Na presente tese foi adotado o método de Galerkin. Para a solução do problema algébrico foram utilizados dois métodos: o Interative Method of Successive Over-Relaxation - SOR e o algoritmo de Picard. Ao longo da tese existe um esforço matemático assinalável para modelar os preços das opções na presença de estruturas de memória (processo JTDD). E, dada a necessidade de teoria estatística, em especial do Lema de Itô, é apresentada a formulação deste Lema para o processo JTDD com coeficientes não constantes. Também de igual importância na área do cálculo estocástico, é aqui demonstrada a exponencial estocástica para aquele processo. Um ponto retratado na presente tese, muito relevante para a economia financeira, é a possibilidade das séries dos preços dos activos financeiros apresentarem algum tipo de persistência, sobretudo para periodicidades intradiárias. A memória nas séries financeiras é aqui captada através da consideração de processos de telégrafo.