Logaritmos de matrizes : aspectos teóricos e numéricos. Coimbra, FCTUC, 2003, 1vol.,204+XIV

Abstract

Diz-se que X é um logaritmo de uma dada matriz quadrada A se exp(X)=A, onde exp(.) denota a exponencial de matrizes. São conhecidas várias aplicações dos logaritmos de matrizes em problemas de Física, Engenharia e Teoria do Controlo. Nesta dissertação são abordados diversos tópicos relacionados com a existência e unicidade dos logaritmos de matrizes, quer no caso complexo quer no caso real. No entanto, o destaque principal será dado à problemática do cálculo dos logaritmos de matrizes. Um dos métodos usados para o efeito é o método de Briggs-Padé que combina os aproximantes de Padé com o cálculo de sucessivas raízes quadradas de matrizes. Embora este seja um dos métodos mais populares para calcular logaritmos de matrizes, verificou-se que em certos casos envolvia um número desnecessariamente elevado de raízes quadradas que poderia levar a resultados menos precisos em aritmética de precisão finita. Com vista a ultrapassar esta dificuldade, foi proposta a introdução da transformada de Cayley no método de Briggs-Padé, constatando-se haver várias vantagens decorrentes da utilização destas transformadas. Outra questão importante que foi analisada diz respeito à preservação da estrutura: se o logaritmo de matrizes pertencendo a certas grupos satisfaz uma certa propriedade, pretende-se que a mesma seja preservada pelos métodos utilizados no seu cálculo. Relativamente a esta questão é proposta uma reformulação do método de Briggs-Padé por forma a que a estrutura P-anti-simétrica dos logaritmos de matrizes P-ortogonais seja preservada.