Métodos adaptativos para problemas parabólicos: Estudo da convergência

Abstract

O objectivo desta tese é o estabelecimento de resultados de convergência para métodos numéricos para problemas parabólicos definidos num intervalo real ou num domínio bidimensional. Esta tese é essencialmente composta de três partes principais. Na primeira parte são considerados problemas unidimensionais lineares e não lineares. Para o caso linear é provada a supraconvergência da discretização espacial definida usando operadores de diferenças finitas e baseada numa rede espacial com modos fixos em todos os cálculos. É também analisado o caso em que os nodos apresentam movimento. Os principais argumentos usados na demonstração dos resultados mencionados são as desigualdades para a estabilidade demonstradas por Grigorieff em 1986. Portanto, com o objectivo de analisar a discretização de problemas não lineares, estendemos tais desigualdades e provamos resultados de convergência análogos aos estabelecidos no caso linear. A segunda parte fornece-nos as ferramentas para a análise da convergência da discretização de problemas parabólicos definidos em domínios bidimensionais. Nesta parte, estudamos a discretização dos problemas elípticos associados aos problemas de evolução que consideramos posteriormente. Os principais argumentos necessários nas demonstrações da estabilidade dos métodos que usaremos na discretização dos problemas estacionários, são provados nesta parte - resultados de compacidade discreta para funções de rede definidas numa malha bidimensional não uniforme. Usando as desigualdades para a estabilidade estabelecidas, tratamos a supraconvergência da discretização dos problemas elípticos com condições de fronteira de Dirichlet ou Neumann mas definidos em domínios bidimensionais com a propriedade do segmento para a fronteira. Considerando os resultados provados para o caso estacionário estamos habilitados a analisar, na terceira parte, a supraconvergência da discretização de PVIF com as condições mencionadas anteriormente e usando redes espacias fixas. Para este tipo de problemas, introduzimos um critério para o movimento dos nodos espacias e estudamos a discretização baseada nesses nodos móveis. Finalmente é considerado o desempenho do critério para o movimento da rede.