Problemas Inversos na Teoria dos Polinómios Ortogonais

Abstract

O problema em que trabalhámos foi o de obter a medida associada a uma dada sucessão de polinómios ortogonais, conhecida uma representação para os coeficientes da relação de recorrência a três termos que sabemos verificarem estas sucessões. Este tipo de problemas são conhecidos na literatura como problemas inversos. Dividimos o nosso trabalho em três partes. Na primeira, expomos as noções gerais da teoria dos polinómios ortogonais e apresentamos a evolução desta teoria no que diz respeito às classes de medidas que foram sendo estudadas. A segunda parte diz respeito ao primeiro tipo de problemas por nós estudados e a que chamámos problemas inversos diferenciais. Como destes problemas surgem as famílias de polinómios ortogonais clássicas bem como as suas extensões naturais, preferimos dar como título generalizações dos polinómios ortogonais clássicos. Para muitas destas famílias não se conhecem expressões explícitas, mas o facto de estarem "tão próximas" das clássicas, permite-nos obter em alguns casos o seu comportamento assimptótico, a localização das suas zeros e uma representação para a medida associada. A terceira parte diz respeito ao estudo dos problemas inversos estruturais, tanto para medidas de suporte na recta real como para aquelas cujo suporte está na circunferência unitária (circunferência centrada na origem das coordenadas e raio um). Este tipo de problemas aparece-nos já na segunda parte, devido a muitos problemas inversos diferenciais se transformarem em estruturais. Nesta última parte temos de destacar uma caracterização das medidas que estão na classe de Freud, i.e. que são modificações por meio de exponenciais de medidas de Borel positivas, pois permite-nos conectar a teoria dos polinómios ortogonais com a das redes de Toda, abrindo um grande campo de trabalho futuro.