Please use this identifier to cite or link to this item: http://hdl.handle.net/10316/100341
Title: Spline-based numerical methods for fractional diffusion equations
Authors: Jesus, Carla Filipa Bessa Morgado de
Orientador: Sousa, Ercília
Keywords: fractional splines; fractional differential equations; subdiffusion equation; Lévy flights; Riemann-Liouville derivatives; finite difference methods; reflecting boundary condition; splines fracionários; equações com derivadas fracionárias; equação de subdifusão; voos de Lévy; derivadas de Riemann-Liouville; métodos de diferenças finitas; condição de fronteira refletora
Issue Date: 3-May-2022
Project: PD/BI/135311/2017 
PD/BD/142955/2018 
Place of publication or event: Coimbra
Abstract: In this thesis we study several numerical methods, based on splines, to approximate the solution of fractional diffusion equations. These equations model anomalous diffusion that can be categorized as subdiffusion or superdiffusion, depending on the associated mean-squared displacement. In the last decades, anomalous diffusion has been a subject of intense research activity and it describes phenomena of different fields such as engineering, hydrology, physics, finance and biology. The main tool that we use to derivate the numerical methods is splines. Splines are piecewise interpolator functions, defined by a polynomial in each interval and that differ in the degree of the polynomial and in the conditions imposed on the derivatives. The most common splines in literature are of integer degree, namely the linear spline (degree 1) and the cubic spline (degree 3). In this work, we explore splines of degree $\beta$ where $\beta$ is a real number between 0 and 2. For sufficiently smooth functions, we verify that the splines of degree $\beta$ approximate the corresponding functions with order of convergence $\beta+1$. For functions such that $u=O(t^\gamma)$ when $t\to 0$, which are of special interest in the context of anomalous diffusion, we conclude that splines of degree $\beta$ approximate these functions with convergence order of the minimum between $\beta+1$ and $\gamma+1/2$, when considering the $L^2$ norm. On other hand, to the $L^\infty$ norm, we obtain the heuristic result to the order of convergence given by the minimum between $\beta+1$ and $\gamma$. After this, we approximate the fractional time integral of order $\alpha$ resorting to splines of degree $\beta$. For sufficiently smooth functions, the rate of convergence of this approximation is $\beta+1$, both for the $L^2$ and the $L^\infty$ norms. For functions such that $u=O(t^\gamma)$ when $t$ tends to 0, for the $L^2$ norm we conclude that the approximation of the integral of order $\alpha$ using splines of order $\beta$ exhibits a rate of convergence of the minimum between $\beta+1$ and $\gamma+\alpha+1/2$. For the $L^\infty$ norm, the order of convergence is the minimum between $\beta+1$ and $\gamma+\alpha$. In this work, we also study subdiffusion modeled by an equation involving the first derivative in time of that fractional integral. Hence, using the second order central finite difference formula, we obtain a numerical method that is second order accurate in space. Regarding the accuracy in time, the numerical method presents the same order of convergence as the approximation of the fractional integral by a fractional spline. Concerning superdiffusion, we define a fractional integral in space that we approximate by the linear spline, that can be seen as the fractional spline of degree 1. We consider two different types of superdiffusion, depending on the value of $\alpha$ to be between 0 and 1 or between 1 and 2, since each of these cases originates a different equation. For $0<\alpha<1$, we study three numerical methods: one using a second order central approximation, other using a first order upwind approximation and another using a second order upwind approximation. From the study of the stability and consistency of the numerical methods, we conclude that the best one is the second order upwind scheme, since it is second order accurate and does not raise problems for larger meshes, as happens for the central method that presents solutions with spurious oscillations. For $1<\alpha<2,$ we derive a numerical method for the problem of superdiffusion with a reflecting wall, based on the linear spline for the space approximation and on the Crank-Nicolson method for the time approximation. We complete the convergence analysis and conclude that the numerical method is second order convergent both in time and space. Throughout this thesis, the stability analysis is made for the different numerical methods considering the von Neumann theory and all the conclusions stated are corroborated and illustrated by numerical methods implemented by us in MATLAB \textsuperscript{\textregistered}. From numerical experiments, we also infer the influence of the value of $\alpha$ regarding the processes of subdiffusion and superdiffusion.
Nesta tese estudamos vários métodos numéricos, baseados em splines, para aproximar soluções de equações de difusão com derivadas fracionárias. Estas equações modelam difusão anómala que pode classificar-se como subdifusão ou superdifusão, dependendo do momento de segunda ordem do deslocamento associado. A difusão anómala é um tema que tem despertado cada vez mais interesse ao longo das últimas décadas e que descreve fenómenos em várias áreas tais como engenharia, hidrologia, física, finanças e biologia. Para a construção dos métodos numéricos, utilizamos como ferramenta principal os splines. Splines são funções interpoladoras segmentadas, definidas em cada intervalo por um polinómio, e que variam consoante o grau do polinómio e as condições impostas sobre as derivadas. Na literatura, os splines mais comuns são os de grau inteiro, nomeadamente os splines lineares (de grau 1) e os splines cúbicos (de grau 3). Neste trabalho, exploramos os splines de grau $\beta$, onde $\beta$ é um número real entre 0 e 2. Para funções suficientemente regulares, verificamos que os splines de grau $\beta$ aproximam as respetivas funções com ordem de convergência $\beta+1$. Para funções do tipo $u=O(t^\gamma)$ quando $t\to 0$, que são funções de interesse no contexto da difusão anómala, concluímos que os splines de grau $\beta$ aproximam estas funções com uma ordem de convergência que é o mínimo entre $\beta+1$ e $\gamma+1/2$ para a norma $L^2$. Por outro lado, considerando a norma $L^\infty$, obtemos o resultado heurístico para a ordem de convergência do mínimo entre $\beta+1$ e $\gamma$. Depois deste estudo, aproximamos integrais fracionários de ordem $\alpha$ com recurso aos splines de ordem $\beta$. Para funções suficientemente regulares, tanto para a norma $L^2$ como para a norma $L^\infty$, obtemos uma taxa de convergência de $\beta+1$. Para funções do tipo $u=O(t^\gamma)$ quando $t$ tende para $0$, para a norma $L^2$ deduzimos que a aproximação do integral de ordem $\alpha$ baseada em splines de grau $\beta$ apresenta uma taxa de convergência que é o mínimo entre $\beta+1$ e $\gamma+\alpha+1/2$. Para a norma $L^\infty$ obtemos que a ordem de convergência é o mínimo entre $\beta+1$ e $\gamma+\alpha$. Neste trabalho estudamos também o fenómeno de subdifusão, modelado por uma equação envolvendo a derivada de primeira ordem no tempo do integral fracionário. Desse modo, recorrendo à fórmula de diferenças finitas no espaço, obtemos um método numérico de segunda ordem de convergência no espaço e provamos que, no tempo, o método apresenta a mesma ordem de convergência que a da aproximação do integral fracionário por um spline fracionário. Para o caso da superdifusão, é definido um integral fracionário no espaço que aproximamos por um spline linear, que pode ser visto como o spline fracionário de grau 1. Consideramos dois tipos de superdifusão, dependendo se $\alpha$, envolvido na derivada fracionária, está entre 0 e 1 ou entre 1 e 2, uma vez que cada um destes casos origina uma equação diferente. Para $0<\alpha<1$, estudamos três métodos numéricos, um centrado de segunda ordem, um upwind de primeira ordem e um upwind de segunda ordem. Feito o estudo da consistência e da estabilidade, concluímos que o melhor método numérico é o upwind de segunda ordem, uma vez que converge de ordem 2 e não apresenta problemas para malhas mais largas, como é o caso do método centrado de segunda ordem, que dá origem a oscilações. Para $1<\alpha<2,$ derivamos um método numérico para o problema de superdifusão com uma parede refletora, baseado no spline linear no espaço e no método de Crank-Nicolson no tempo. Fazemos o estudo da convergência e concluímos que o método obtido é de segunda ordem tanto no espaço como no tempo. Os estudos de estabilidade dos métodos são todos feitos segundo a teoria de von Neumann e as conclusões retiradas nesta tese são todas corroboradas e ilustradas por testes numéricos, implementados por nós em MATLAB \textsuperscript{\textregistered}. A partir de testes numéricos também se infere a influência do parâmetro $\alpha$ nos processos de subdifusão e superdifusão.
Description: Tese de Doutoramento no Programa Inter-Universitário de Doutoramento em Matemática apresentada à Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra.
URI: http://hdl.handle.net/10316/100341
Rights: openAccess
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UC - Teses de Doutoramento

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